Elektrisches Feld und Potential

Mathematische Beschreibung elektrischer Felder und Ströme

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Die vorhergehende Seite „Ladung – Spannung – Strom“ hat gezeigt, wie sich elektrische Erscheinungen aus einer physikalischen Ursache-Wirkungs-Kette verstehen lassen: von der elektrischen Ladung über das elektrische Feld zu Spannung und schließlich zum elektrischen Strom.

Im Folgenden wird derselbe Zusammenhang noch einmal in mathematischer Form beschrieben. Dabei wird, wie in der Physik üblich, von elektrischen Ladungen und den von ihnen erzeugten elektrischen Feldern ausgegangen. Aus diesen lassen sich anschließend Potential, Spannung und Strom systematisch ableiten.

Ladung → elektrisches Feld → Potential → Spannung → Strom

Elektrische Ladung

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Elektrische Ladung ist eine grundlegende Eigenschaft von Materie. Elektronen tragen eine negative Ladung, Protonen eine positive Ladung.

Diese Gleichung beschreibt die Kraft zwischen zwei Punktladungen und wird als Coulomb-Gesetz bezeichnet.

• \( \vec{F} \) – elektrische Kraft zwischen den Ladungen
• \( q_1, q_2 \) – elektrische Ladungen der beiden Teilchen
• \( r \) – Abstand zwischen den Ladungen
• \( \vec{r} \) – Richtungsvektor von einer Ladung zur anderen
• \( \varepsilon_0 \) – Permittivität des Vakuums (Einheit \( \mathrm{F/m} \), Farad pro Meter)

Für das Vakuum gilt:

Die Einheit \( \mathrm{F/m} \) bedeutet Farad pro Meter. Sie beschreibt, wie stark ein Material ein elektrisches Feld „zulässt“ bzw. wie stark elektrische Ladungen ein elektrisches Feld im Raum erzeugen.

Das Farad (\( \mathrm{F} \)) ist die Einheit der elektrischen Kapazität. Der Zusatz „pro Meter“ entsteht, weil die Permittivität eine Materialkonstante des Raumes ist, die angibt, wie das elektrische Feld pro Längeneinheit im Raum wirkt.

Elektrisches Feld

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Von jeder elektrischen Ladung geht ein elektrisches Feld aus. Dieses Feld beschreibt die Kraftwirkung im Raum.

• \( \vec{F} \) – elektrische Kraft auf eine Ladung
• \( q \) – elektrische Ladung des Teilchens
• \( \vec{E} \) – elektrische Feldstärke

Die elektrische Feldstärke gibt an, welche Kraft auf eine Ladung im Feld wirkt.

Zusammenhang zwischen Coulomb-Kraft und elektrischem Feld

Die Kraft zwischen zwei Punktladungen wird durch das Coulomb-Gesetz beschrieben.

• \( \vec{F} \) – elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen
• \( q_1, q_2 \) – elektrische Ladungen der beiden Teilchen
• \( r \) – Abstand zwischen den Ladungen
• \( \vec{r} \) – Richtungsvektor zwischen den Ladungen
• \( \varepsilon_0 \) – elektrische Feldkonstante

Die elektrische Feldstärke ist definiert als Kraft pro Ladung. Befindet sich eine Probeladung \(q\) im elektrischen Feld einer Ladung \(Q\), so gilt

• \( \vec{E} \) – elektrische Feldstärke
• \( \vec{F} \) – Kraft auf die Probeladung
• \( q \) – Ladung der Probeladung
• \( Q \) – Ladung, die das elektrische Feld erzeugt

Setzt man das Coulomb-Gesetz in diese Definition ein, erhält man das elektrische Feld einer Punktladung:

Der Betrag der Feldstärke ergibt sich zu

Das elektrische Feld einer positiven Ladung zeigt radial nach außen, das Feld einer negativen Ladung radial nach innen.

Elektrisches Potential

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Bewegt sich eine Ladung im elektrischen Feld, kann das Feld Arbeit verrichten.

• \( W \) – elektrische Arbeit bzw. übertragene Energie
• \( \mathrm{d}W \) – kleine Änderung der Arbeit
• \( \vec{F} \) – elektrische Kraft
• \( q \) – elektrische Ladung
• \( \vec{E} \) – elektrische Feldstärke
• \( \mathrm{d}\vec{s} \) – kleines Wegstück entlang der Bewegung
• \( \varphi \) – elektrisches Potential

Das elektrische Potential beschreibt die elektrische Energie pro Ladung an einem bestimmten Punkt im elektrischen Feld.

Das elektrische Feld steht überall senkrecht auf den Linien gleichen Potentials (Equipotentiallinien). Dies wird durch die folgende Darstellung veranschaulicht.

Die blauen Linien zeigen die Richtung des elektrischen Feldes. Sie geben die Richtung der Kraft an, die auf eine positive Probeladung wirkt. Die gestrichelten Kreise sind Linien gleichen elektrischen Potentials (Equipotentiallinien). Sie stehen überall senkrecht auf den Feldlinien.

Elektrische Spannung

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Die Spannung ist der Unterschied zwischen zwei elektrischen Potentialen.

• \( U \) – elektrische Spannung
• \( \varphi_1, \varphi_2 \) – elektrische Potentiale an zwei Punkten
• \( \vec{E} \) – elektrische Feldstärke
• \( \nabla \) – mathematischer Operator für räumliche Änderungen eines Feldes
• \( \mathcal{C} \) – Integrationsweg zwischen zwei Punkten
• \( \mathrm{d}\vec{s} \) – kleines Wegstück entlang des Integrationswegs

Die elektrische Spannung entspricht der Arbeit pro Ladung, die beim Bewegen einer Ladung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld verrichtet wird.

Diese Darstellung zeigt den direkten Zusammenhang zwischen elektrischer Spannung und elektrischem Feld.

Elektrischer Strom

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• \( I \) – elektrische Stromstärke
• \( Q \) – elektrische Ladungsmenge
• \( t \) – Zeit
• \( \mathrm{d}Q \) – kleine Änderung der Ladungsmenge
• \( \mathrm{d}t \) – kleines Zeitintervall

Die Stromstärke beschreibt, wie viel elektrische Ladung pro Zeit durch einen Leiterquerschnitt fließt.

Die Einheit der Stromstärke ist das Ampere (A):

Die zuvor betrachteten Größen – Ladung, elektrisches Feld, Potential und Spannung – beschreiben zunächst einen elektrostatischen Zustand. Die Ladungen können dabei räumlich getrennt sein und ein elektrisches Feld erzeugen, ohne dass bereits ein Strom fließt.

Erst wenn zwei Punkte unterschiedlichen Potentials leitend miteinander verbunden werden, können sich Ladungsträger im elektrischen Feld bewegen. Die Ladungen beginnen sich gerichtet zu bewegen, und es entsteht ein elektrischer Strom.

Werden beispielsweise der positive und der negative Pol einer Spannungsquelle durch einen Leiter verbunden, so treibt das elektrische Feld im Leiter die Ladungsträger vom höheren zum niedrigeren Potential. Diese gerichtete Bewegung der Ladungen wird als elektrischer Strom bezeichnet.

Wichtige Gleichungen dieser Seite

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Die folgenden Gleichungen fassen die zentralen physikalischen Zusammenhänge zusammen.

• Kraft auf eine Ladung im elektrischen Feld: \[ \vec{F} = q \vec{E} \]
• Definition der elektrischen Feldstärke: \[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \]
• Arbeit im elektrischen Feld: \[ \mathrm{d}W = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s} \]
• Arbeit im elektrischen Feld unter Verwendung der Feldstärke: \[ \mathrm{d}W = q \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{s} \]
• Definition des elektrischen Potentials: \[ \varphi = \frac{W}{q} \]
• Spannung als Potentialunterschied: \[ U = \varphi_1 - \varphi_2 \]
• Zusammenhang zwischen elektrischem Feld und Potential: \[ \vec{E} = - \nabla \varphi \]
• Spannung als Linienintegral des elektrischen Feldes: \[ U = - \int_{\mathcal{C}} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{s} \]
• Definition der elektrischen Stromstärke: \[ I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \]

Verwendete Symbole und ihre Bedeutung

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Hinweis zur Notation:
Vektoren werden mit einem Pfeil über dem Symbol dargestellt (z. B. \( \vec{E} \) für das elektrische Feld).
Skalare besitzen keinen Richtungsanteil und werden ohne Pfeil geschrieben (z. B. \( \varphi \) für das elektrische Potential).

Die folgenden mathematischen Symbole werden auf dieser Seite verwendet. Sie beschreiben physikalische Größen der Elektrodynamik.

Grundgrößen: \( q, Q, I, U \)

Feldgrößen: \( \vec{E}, \varphi \)

Mechanische Größen: \( \vec{F}, W \)

Mathematische Operatoren: \( \nabla, \int \)

• \( q \) – elektrische Ladung eines Teilchens (Einheit: Coulomb \( \mathrm{C} \))
• \( Q \) – elektrische Ladung eines Körpers oder einer Quelle
• \( I \) – elektrische Stromstärke (Einheit: Ampere \( \mathrm{A} \))
• \( U \) – elektrische Spannung (Potentialunterschied, Einheit Volt \( \mathrm{V} \))
• \( \vec{E} \) – elektrisches Feld bzw. elektrische Feldstärke (Vektorfeld, Einheit \( \mathrm{V/m} \) oder \( \mathrm{N/C} \))
• \( \varphi \) (auch \( \phi \)) – elektrisches Potential (Skalarfeld, Einheit Volt \( \mathrm{V} \))
• \( \varphi_1 , \varphi_2 \) – Potential an zwei verschiedenen Punkten
• \( \vec{F} \) – Kraft auf eine Ladung im elektrischen Feld (Einheit: Newton \( \mathrm{N} \))
• \( W \) – verrichtete Arbeit bzw. übertragene Energie (Einheit Joule \( \mathrm{J} \))
• \( \vec{s} \) – Verschiebungsvektor bzw. Wegvektor im Raum
• \( \mathrm{d}\vec{s} \) – infinitesimales Wegstück entlang eines Integrationsweges
• \( t \) – Zeit
• \( r \) – Abstand zwischen zwei Ladungen bzw. Abstand vom Feldpunkt zur Ladung
• \( \vec{r} \) – Ortsvektor eines Punktes im Raum
• \( \varepsilon_0 \) – Permittivität des Vakuums (Einheit \( \mathrm{F/m} \), Farad pro Meter)
• \( \nabla \) („Nabla“) – Gradientoperator, beschreibt räumliche Ableitungen und erzeugt aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld
• \( \int \) – Integralzeichen zur Summation kontinuierlicher Beiträge
• \( \mathcal{C} \) – Integrationsweg zwischen zwei Punkten