Spannungsteiler – Erzeugung definierter Spannungspegel

Grundprinzip

↑ Zur Kapitelübersicht

Ein Spannungsteiler besteht aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen \( R_1 \) und \( R_2 \), die an eine Eingangsspannung \( U_\text{in} \) angeschlossen sind. Die Ausgangsspannung \( U_\text{out} \) wird am Verbindungspunkt beider Widerstände gegen Masse abgegriffen.

Da durch eine Reihenschaltung überall derselbe Strom fließt, teilt sich die Gesamtspannung proportional zu den Widerstandswerten auf: Ein größerer Widerstand verursacht einen größeren Spannungsabfall.

Typische Einsatzgebiete sind die Anpassung von Spannungspegeln, die Erzeugung von Referenzspannungen und die Skalierung von Messsignalen.

Berechnungsformel

↑ Zur Kapitelübersicht

Die Ausgangsspannung ergibt sich aus dem Verhältnis von \( R_2 \) zur Gesamtreihenschaltung:

\[ U_\text{out} = U_\text{in} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \]

Je größer \( R_2 \) im Verhältnis zu \( R_1 \), desto größer der Anteil der Eingangsspannung am Ausgang.

Umstellung nach R1

Ist \( U_\text{out} \) vorgegeben und \( R_2 \) bekannt, lässt sich \( R_1 \) direkt berechnen:

\[ R_1 = R_2 \cdot \left( \frac{U_\text{in}}{U_\text{out}} - 1 \right) \]

Hinweis

Diese Formel gilt nur für den unbelasteten Spannungsteiler. Sobald eine Last angeschlossen wird, verändert sich \( U_\text{out} \) — siehe Kapitel Belasteter Spannungsteiler.

Beispiel

↑ Zur Kapitelübersicht

Gegeben ist ein Spannungsteiler mit folgenden Werten:

• \( U_\text{in} = 12\,\text{V} \)
• \( R_1 = 10\,\text{k}\Omega \)
• \( R_2 = 10\,\text{k}\Omega \)

Gesucht ist die Ausgangsspannung \( U_\text{out} \).

Einsetzen in die Spannungsteilerformel:

\[ U_\text{out} = 12\,\text{V} \cdot \frac{10\,\text{k}\Omega}{10\,\text{k}\Omega + 10\,\text{k}\Omega} \]

Die Widerstände können gekürzt werden:

\[ U_\text{out} = 12\,\text{V} \cdot \frac{10}{20} \]

\[ U_\text{out} = 12\,\text{V} \cdot 0{,}5 \]

\[ U_\text{out} = 6\,\text{V} \]

Interpretation

Da beide Widerstände gleich groß sind, teilen sie die Eingangsspannung im Verhältnis 1:1 auf. Die Ausgangsspannung beträgt daher genau die Hälfte der Eingangsspannung.

Allgemein gilt: Sind \( R_1 = R_2 \), dann ist immer

\[ U_\text{out} = \frac{U_\text{in}}{2} \]

Interaktive Simulation

Verändere die Werte — U_out wird automatisch berechnet.

Belasteter Spannungsteiler

↑ Zur Kapitelübersicht

Wird eine Last \( R_L \) angeschlossen, liegt sie parallel zu \( R_2 \) und verringert den wirksamen Widerstand im unteren Zweig:

\[ R_\text{eff} = R_2 \parallel R_L = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2 + R_L} \]

Da \( R_\text{eff} \) kleiner als \( R_2 \) ist, sinkt die Ausgangsspannung gegenüber dem unbelasteten Fall:

\[ U_\text{out} = U_\text{in} \cdot \frac{R_\text{eff}}{R_1 + R_\text{eff}} \]

Design-Regel

Die Ausgangsspannung bleibt nur dann nahezu stabil, wenn der Lastwiderstand deutlich größer als \( R_2 \) ist:

\[ R_L \gg R_2 \]

Physikalische Bedeutung

Der Spannungsteiler hat einen endlichen Innenwiderstand. Sobald Strom entnommen wird, fällt dort eine Spannung ab — \( U_\text{out} \) sinkt.

Praxishinweis: Messen mit dem Multimeter

Ein Multimeter hat einen eigenen Innenwiderstand — typisch zwischen 1 MΩ und 10 MΩ. Beim Messen von \( U_\text{out} \) hängt es parallel zu \( R_2 \) und wirkt damit selbst als Last \( R_L \).

Bei kleinen Widerstandswerten ist der Einfluss vernachlässigbar. Bei hochohmigen Spannungsteilern kann die Messung jedoch deutlich verfälscht werden:

• \( R_2 = 10\,\text{k}\Omega \), Multimeter \( 1\,\text{M}\Omega \) → Fehler unter 1 % — kaum merklich
• \( R_2 = 1\,\text{M}\Omega \), Multimeter \( 1\,\text{M}\Omega \) → \( R_\text{eff} = 500\,\text{k}\Omega \) — Messwert halbiert sich

Die Design-Regel \( R_L \gg R_2 \) gilt damit auch für das Messgerät selbst.

Thevenin-Ersatzschaltung

↑ Zur Kapitelübersicht

Jede lineare Schaltung lässt sich an ihren Ausgangsklemmen durch eine einfache Ersatzschaltung beschreiben: eine ideale Spannungsquelle \( U_\text{th} \) in Reihe mit einem Innenwiderstand \( R_\text{th} \). Diese Darstellung geht auf Léon Charles Thévenin zurück, Ingenieur der französischen Telegraphenverwaltung, der das Theorem 1883 in Paris veröffentlichte.

Thévenin stützte seinen Beweis auf zwei Grundprinzipien: das Superpositionsprinzip, wonach sich in linearen Schaltungen die Wirkungen mehrerer Quellen unabhängig voneinander addieren, und die Linearität von Widerstandsnetzwerken. Daraus folgt, dass das Verhalten an den Ausgangsklemmen vollständig durch genau zwei Größen beschrieben wird: die Leerlaufspannung \( U_\text{th} \) und den Kurzschlussstrom, aus dem sich \( R_\text{th} \) ergibt. Alle inneren Details der Schaltung sind für die Last unsichtbar.

Leerlaufspannung

\( U_\text{th} \) entspricht der Ausgangsspannung des unbelasteten Spannungsteilers:

\[ U_\text{th} = U_\text{in} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \]

Innenwiderstand

\( R_\text{th} \) ergibt sich, indem die Spannungsquelle kurzgeschlossen wird. Die beiden Widerstände liegen dann parallel:

\[ R_\text{th} = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \]

Belastungsfall

Mit angeschlossener Last \( R_L \) bilden \( R_\text{th} \) und \( R_L \) einen einfachen Spannungsteiler:

\[ U_\text{out} = U_\text{th} \cdot \frac{R_L}{R_\text{th} + R_L} \]

Design-Regel

Die Ausgangsspannung bleibt nur dann nahezu stabil, wenn die Last deutlich größer als der Innenwiderstand ist:

\[ R_L \gg R_\text{th} \]

Das entspricht der bereits bekannten Forderung aus dem belasteten Spannungsteiler — dort war \( R_\text{th} = R_1 \parallel R_2 \).

Warum ist das nützlich?

Komplexe Netzwerke lassen sich auf zwei Kenngrößen reduzieren: \( U_\text{th} \) und \( R_\text{th} \). Das vereinfacht die Analyse von Belastungseffekten erheblich — unabhängig davon wie viele Bauteile die ursprüngliche Schaltung enthält.

Norton-Ersatzschaltung

↑ Zur Kapitelübersicht

Die Norton-Ersatzschaltung ist die duale Form der Thevenin-Darstellung, benannt nach Edward Lawry Norton, Ingenieur bei Bell Labs in New York, der das Theorem 1926 in einem internen technischen Bericht beschrieb. Unabhängig davon veröffentlichte Hans Ferdinand Mayer vom Zentrallaboratorium der Siemens & Halske AG in Berlin denselben Ansatz im selben Monat. In Europa ist es daher als Mayer-Norton-Theorem bekannt. Anstelle einer Spannungsquelle mit Reihenwiderstand wird das Netzwerk als Stromquelle \( I_N \) mit Parallelwiderstand \( R_N \) dargestellt.

Umrechnung aus Thevenin

Beide Darstellungen sind vollständig äquivalent:

\[ I_N = \frac{U_\text{th}}{R_\text{th}} \qquad R_N = R_\text{th} \]

Umgekehrt gilt:

\[ U_\text{th} = I_N \cdot R_N \]

Wann welche Darstellung?

Thevenin eignet sich besser für Spannungsanalysen und Maschengleichungen, Norton für Stromanalysen und Knotengleichungen. Die Wahl hängt davon ab, welche Rechenmethode für die jeweilige Schaltung einfacher ist.

Anwendungen

↑ Zur Kapitelübersicht

Spannungsteiler werden überall dort eingesetzt, wo aus einer vorhandenen Spannung ein definierter Teilwert erzeugt werden soll:

Spannungsteiler eignen sich nur für gering belastete Ausgänge. Wird eine stabile Spannung unter Last benötigt, sind aktive Schaltungen wie Spannungsregler oder Operationsverstärker erforderlich.

Bedeutung

↑ Zur Kapitelübersicht

Der Spannungsteiler gehört zu den grundlegendsten Schaltungen der Elektronik. Er zeigt direkt wie Spannung, Strom und Widerstand zusammenhängen und bildet die Basis für Messschaltungen, Sensorauswertung und Ersatzschaltungen wie Thevenin und Norton.

Zusammenfassung

↑ Zur Kapitelübersicht

• \( U_\text{out} \) wird durch das Verhältnis von \( R_1 \) zu \( R_2 \) bestimmt.
• Die Formel gilt nur für den unbelasteten Fall.
• Eine Last \( R_L \) parallel zu \( R_2 \) reduziert \( U_\text{out} \).
• Der Spannungsteiler hat einen endlichen Innenwiderstand \( R_\text{th} = R_1 \parallel R_2 \).
• Stabile Ausgangsspannung erfordert \( R_L \gg R_2 \) — gilt auch für Messgeräte.

Formelzeichen

↑ Zur Kapitelübersicht